penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks

Penyelesaiandengan metode ini adalah dengan memasukkan salah satu variabel ke variabel lain. Contoh Soal Selesaikan SPLDV di bawah ini menggunakan metode substitusi. Penyelesaian. 1. Beri tanda persamaan. 1) pada persamaan linear yang terletak di atas dan 2) pada persamaan linear bagian bawah. 2. Cari persamaan baru dengan cara mengubah syarat3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3 Karena det ≠ 0, solusi SPL Homogen tersebut trivial yaitu x 1 = x 2 = x 3 = 0. Solusi Non Trivial ., 11/09/2012 · Pada bagian awal video ini ditunjukkan bagaimana menentukan kapan sebuah SPL (2 persamaan dengan 2 variabel) homogen memiliki solusi tak trivial . MenyelesaikanPersamaan Linear dengan Matriks dan Contohnya . Persamaan matriks yang sesuai sebagai berikut. Penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks. Dalam pelajaran matematika kelas x, dibahas penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan metode. 3.3.2 menyusun sistem persamaan linear tiga variabel (model Tujuanpenyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut. asalkan ad – bc ≠ 0. Contoh Soal 23 : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara Hai Rimuru.. Kakak bantu jawab pertanyaan kamu ya ^^ Penjelasan: Sebelumnya kakak ingin memberi tahu bahwa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel ataupun tiga variabel ada beberapa cara dan salah satunya adalah metode subtitusi, untuk metode yang lainnya yaitu : Metode Eliminasi Metode campuran (gabungan metode Wenn Ein Mann Sich Treffen Will. 4. Penyelesaian SPLTV Metode Determinan Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut. Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut. Misalkan terdapat sistem persamaan berikut. a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut A . X = B …………… Pers. 1 Dengan A = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut. a1 b1 c1 x = d1 a2 b2 c2 y d2 a3 b3 c3 z d3 Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A D, determinan x Dx determinan y Dy dan determinan z Dz dengan persamaan berikut. D = a1 b1 c1 a1 b1 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 D adalah determinan dari matriks A. Dx = d1 b1 c1 d1 b1 = d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3 – d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1 d2 b2 c2 d2 b2 d3 b3 c3 d3 b3 Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dy = a1 d1 c1 a1 d1 = a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3 – a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1 a2 d2 c2 a2 d2 a3 d3 c3 a3 d3 Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dz = a1 b1 d1 a1 b1 = a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3 – a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1 a2 b2 d2 a2 b2 a3 b3 d3 a3 b3 Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B. Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut. Contoh Soal Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini. 2x + y + z = 12 x + 2y – z = 3 3x – y + z = 11 Jawab Mengubah SPLTV ke bentuk matriks Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut. 2 1 1 x = 12 1 2 −1 y 3 3 −1 1 z 11 Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas. Menentukan nilai D D = 2 1 1 2 1 1 2 −1 1 2 3 −1 1 3 −1 D = [221 + 1−13 + 11−1] – [321 + −1−12 + 111] D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1] D = 0 − 9 D = −9 Menentukan nilai Dx Dx = 12 1 1 12 1 3 2 −1 3 2 11 −1 1 11 −1 Dx = [1221 + 1−111 + 13−1] – [1121 + −1−112 + 131] Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3] Dx = 10 − 37 Dx = −27 Menentukan nilai Dy Dy = 2 12 1 2 12 1 3 −1 1 3 3 11 1 3 11 Dy = [231 + 12−13 + 1111] – [331 + 11−12 + 1112] Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12] Dy = −19 – –1 Dy = −18 Menentukan nilai Dz Dz = 2 1 12 2 1 1 2 3 1 2 3 −1 11 3 −1 Dz = [2211 + 133 + 121−1] – [3212 + −132 + 1111] Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11] Dz = 41 − 77 Dz = −36 Menentukan nilai x, y, z Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {3, 2, 4}. 5. Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh berikut ini. Jika A = a1 b1 c1 Dengan det A ≠ 0 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Maka invers dari matriks A ditulis A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut. Determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini. + + + A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut. − − − A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 + −a3b2c1 + −b3c2a1 + −c3a2b1 det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 Adjoin matriks A Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan nilai adjoin, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Matriks Kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = −11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M11 = b2 c2 = b2c3 – b3c2 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = −11 + 1 [b2c3 – b3c2] K12 = −11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M12 = a2 c2 = a2c3 – a3c2 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = −11 + 2 [a2c3 – a3c2] K13 = −11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M13 = a2 b2 = a2b3 – a3b2 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = −11 + 3 [a2b3 – a3b2] K21 = −12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M21 = b1 c1 = b1c3 – b3c1 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = −12 + 1 [b1c3 – b3c1] K22 = −12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M22 = a1 c1 = a1c3 – a3c1 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = −12 + 2 [a1c3 – a3c1] K23 = −12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M23 = a1 b1 = a1b3 – a3b1 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = −12 + 3 [a1b3 – a3b1] K31 = −13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M31 = b1 c1 = b1c2 – b2c1 b2 c2 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = −13 + 1 [b1c2 – b2c1] K32 = −13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M32 = a1 c1 = a1c2 – a2c1 a2 c2 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = −13 + 2 [a1c2 – a2c1] K33 = −13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M33 = a1 b1 = a1b2 – a2b1 a2 b2 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = −13 + 3 [a1b2 – a2b1] Matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 [kofA]T = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33 Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33 1 Sistem Persamaan Linier dua Variabel Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan matriks, yaitu Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah Untuk lebih jelaxnya, ikutilah contoh soal berikut ini 02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3 dengan metoda a Invers matriks b Determinan Jawab a Dengan metoda invers matriks diperoleh b Dengan metoda determinan matriks diperoleh 2 Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel. Sepeti halnya pada sistem persamaan linier dua variabel, menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan matriks juga terdiri dari dua cara, yakni dengan menggunakan determinan matriks dan dengan menggunakan aturan invers perkalian matriks. Berikut ini akan diuraikan masing masing cara tersebut. Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinan matriks adalah dengan menentukan terlebih dahulu matriks koefisien dari sistem persamaan itu. Selanjutnya ditentukan empat nilai determinan sebagai berikut 1 D yakni determinan matriks koefisien 2 Dx yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien x diganti konstanta 3 Dy yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien y diganti konstanta 4 Dz yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien z diganti konstanta Rumus masing-masingnya adalah sebagai berikut Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan metoda determinan 2x – 3y + 2z = –3 x + 2y + z = 2 2x – y + 3z = 1 Jawab D = 223 + –312 + 21–1 – 222 – 21–1 – –313 D = 12 – 6 – 2 – 8 + 2 + 9 D = 7 Dx = –323 + –311 + 22–1 – 221 – –31–1 – –323 Dx = –18 – 3 – 4 – 4 – 3 + 18 Dx = –14 Dy = 223 + –312 + 211 – 222 – 211 – –313 Dy = 12 – 6 + 2 – 8 – 2 + 9 Dy = 7 Dz = 221 + –322 + –31–1 – –322 – 22–1 – –311 Dz = 4 – 12 + 3 + 12 + 4 + 3 Dz = 14 Ada beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan linier tiga variabel yaitu dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi bertingkat ataupun gabungan eliminasi substitusi. Selain metode-metode tersebut, kita juga dapat menggunakan metode determinan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variable. Salah satu aplikasi matriks adalah dalam menyelesaikan persamaan linier. Untuk itu, kali ini saya akan berbagi contoh cara menyelesaikan persamaan linier tiga variable dengan metode Determinan Matriks. Dalam hal ini, Determinan kita tentukan melalui metode Sarrus. Baiklah langsung saja kita bahas Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier tiga variable 2x + y + z = 12 x + 2y – z = 3 3x – y +z = 11 Jawab Pertama kita ubah bentuk sistem persamaan di atas kedalam bentuk matriks Kemudian kita tentukan determinan matriks D, Dx, Dy, dan Dz. Matriks D adalah matriks 3 x 3 yang elemen-elemennya terdiri atas koefisien-koefisien semua variabel persamaan. Matriks Dx adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya merupakan konstanta persamaan, kemudian kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Matriks Dy adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamnya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas konstanta persamaan, dan kolom ketiga terdiri atas koefisien z. Sedangkan, matriks Dz adalah matriks 3 x 3 yang elemen kolom pertamanya terdiri atas koefisien x, kolom kedua terdiri atas koefisien y, dan kolom ketiga terdiri atas konstanta persamaan. Sehingga, Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {3, 2, 4} Nah, sekarang cobalah dengan menyelesaikan soal berikut Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable berikut 3x – y + 2z = 16 2x + y + z = 1 4x – 2y + z = 18 Lihat juga matriks, eliminasi Gauss-Jordan, Transformasi linier geometris Gunakan kalkulator di bawah ini untuk mencari solusi dari sistem persamaan linier dengan 2, 3 ataupun sampai 10 variabel. Lihat di bawah untuk belajar berbagai macam metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Kalkulator Sistem Persamaan Linier Pilih berapa variabel di dalam sistem persamaan memuat . . . menghitung . . . Tolong laporkan kesalahan ke [email protected]. Terima kasih. Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier. Eliminasi Substitusi Grafik Matriks Invers Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini { x + y − z = 1 1 8⁢x + 3⁢y − 6⁢z = 1 2 −4⁢x − y + 3⁢z = 1 3 Metode eliminasi Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi menghilangkan variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal. Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama baik positif maupun negatif untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan 1 dan 3 . Koefisien untuk y adalah 1 dan −1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan 4 . x + y − z = 1 1 −4⁢x − y + 3⁢z = 1 3 - + −3⁢x + 0 + 2⁢z = 2 4 Perhatikan bahwa persamaan 4 terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan 4 . Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan 1 dan 2 . Dalam persamaan 1 dan 2 , koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan 1 dengan 3 lalu mengurangkan persamaan 2 dari persamaan 1 . x + y − z = 1 1 × 3 8⁢x + 3⁢y − 6⁢z = 1 2 3⁢x + 3⁢y − 3⁢z = 3 1 8⁢x + 3⁢y − 6⁢z = 1 2 - − −5⁢x + 0⁢y + 3⁢z = 2 5 Dengan persamaan 4 dan 5 , mari kita coba untuk menghilangkan z. −3⁢x + 2⁢z = 2 4 × 3 −5⁢x + 3⁢z = 2 5 × 2 −9⁢x + 6⁢z = 6 4 −10⁢x + 6⁢z = 4 5 - − +01⁢x + 0⁢z = 2 6 Dari persamaan 6 kita dapatkan x=2. Sekarang kita bisa subtitusikan masukkan nilai dari x ke persamaan 4 untuk mendapatkan nilai z. −3⁢2 + 2⁢z = 2 4 −6 + 2⁢z = 2 2⁢z = 2+6 2⁢z = 8 z = 8 ÷ 2 z = 4 Akhirnya, kita substitusikan masukkan nilai dari x dan z ke persamaan 1 untuk mendapatkan y. 2+y−4 =1 1 y =1−2+4 y =3 Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x=2, y=3, z=4. Metode substitusi Pertama-tama, marilah kita atur persamaan 1 ssupaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. x=1−y+z 1 Sekarang kita substitusi x ke persamaan 2 . 8⁢ 1−y+z +3⁢y −6⁢z =1 2 8 −8⁢y +8⁢z +3⁢y −6⁢z =1 −5⁢y +2⁢z =1−8 −5⁢y +2⁢z =−7 4 Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan 3 . −4⁢ 1−y+z −y +3⁢z =1 3 −4 +4⁢y −4⁢z −y +3⁢z =1 3⁢y −z =1+4 3⁢y −z =5 5 Sekarang kita atur persamaan 5 supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. z=3⁢y−5 5 Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan 4 . −5⁢y +2⁢ 3⁢y−5 =−7 4 −5⁢y +6⁢y−10 =−7 y =−7+10 y =3 Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan 5 untuk mencari z. z =3⁢ 3 −5 5 z =9 −5 z =4 Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y and z ke persamaan 1 untuk mendapatkan nilai x. x =1−3+4 1 x =2 Metode grafik Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu. Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini. { x + y =3 2⁢x − y =−3 Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas. Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu mempunyai titik potong pada titik 0,3. Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x=0, y=3. Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan. Metode Matriks Invers Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan 1 , 2 dan 3 di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks sebagai berikut A⁢B =C 1 2 −1 8 3 −6 −4 −1 3 ⁢ x y z = 1 1 1 Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A. A−1 ⁢A⁢B = A−1 ⁢C B = A−1 ⁢C Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A−1. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks. A−1 = −3 2 3 0 1 2 −4 3 5 B = −3 2 3 0 1 2 −4 3 5 ⁢ 1 1 1 B = 2 3 4 Jadi solusinya adalah x=2, y=3, z=4. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan 1 , 2 dan 3 dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi seperti berikut A= 1 1 −1 1 8 3 −6 1 −4 −1 3 1 Dengan melakukan serangkaian operasi baris Eliminasi Gauss, kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris. A= 1 − 0 1 − 0 0 1 4 Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. A= 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir x=2, y=3, z=4. Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan. See also matrix, Gauss-Jordan elimination, Geometric Linear Transformation

penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks